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复杂度分析(上):如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗?

T(n) = O(f(n))

大 O 复杂度表示法

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int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}

总的执行时间就是T(n) = (2n+2)*unit_time。
记为:T(n) = O(n);

所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

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int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum = sum + i * j;
}
}
}

执行时间 T(n) = (2n2+2n+3)* unit_time。
记为:T(n) = O(n2)

大 O 复杂度表示法:

T(n) = O(f(n))

T(n): 表示代码执行的时间;
n: 表示数据规模的大小;
f(n): 表示每行代码执行的次数总和;
O: 表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比。

大 O 复杂度表示法时间上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫作渐进时间复杂度,简称时间复杂度

时间复杂度分析

  • 1.只关注循环执行次数最多的一段代码
  • 2.加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
  • 3.乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

几种常见时间复杂度实例分析

虽然代码千差万别,但是常见的复杂度量级并不多。我稍微总结了一下,这些复杂度量级几乎涵盖了你今后可以接触的所有代码的复杂度量级。

复杂度量级(按数量级递增)

  • 多项式量级
    • 常量阶 O(1)
    • 对数阶 O(log n)
    • 线性阶 O(n)
    • 线性代数阶 O(nlogn)
    • 平方阶 O(n²)、立方阶O(n³)…k次方阶O(n^{k})
  • 非多项式量级
    • 指数阶 O(2^n)
    • 阶乘积 O(n!)

1.O(1)

首先你必须明确一个概念,O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。比如这段代码,即便有 3 行,它的时间复杂度也是 O(1),而不是 O(3)。

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int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;

我稍微总结一下,只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长,这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说,一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是Ο(1)。

2.O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见,同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。

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i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}

根据我们前面讲的复杂度分析方法,第三行代码是循环执行次数最多的。所以,我们只要能计算出这行代码被执行了多少次,就能知道整段代码的时间复杂度。

从代码中可以看出,变量 i 的值从 1 开始取,每循环一次就乘以 2。当大于 n 时,循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗?实际上,变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来,就应该是这个样子的:

2^0 * 2^1 * 2^2 ... 2^k ... 2^n = m 3 n

所以,我们只要知道 x 值是多少,就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了,我就不多说了。x=log2n,所以,这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。

现在,我把代码稍微改下,你再看看,这段代码的时间复杂度是多少?

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i=1;
while (i <= n) {
i = i * 3;
}

根据我刚刚讲的思路,很简单就能看出来,这段代码的时间复杂度为 O(log3n)。

实际上,不管是以 2 为底、以 3 为底,还是以 10 为底,我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢?

我们知道,对数之间是可以互相转换的,log3n 就等于 log32 log2n,所以 O(log3n) = O(C log2n),其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论:在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以,O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此,在对数阶时间复杂度的表示方法里,我们忽略对数的“底”,统一表示为 O(logn)。

如果你理解了我前面讲的 O(logn),那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗?如果一段代码的时间复杂度是 O(logn),我们循环执行 n 遍,时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且,O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如,归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

3.O(m+n)、O(m*n)

我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度,代码的复杂度由两个数据的规模来决定。老规矩,先看代码!

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int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)T2(n) = O(f(m) f(n))。

空间复杂度

前面我讲过,时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下,空间复杂度全称就是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity),表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

举个例子:

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void print(int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i <n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n-1; i >= 0; --i) {
print out a[i]
}
}

跟时间复杂度分析一样,我们可以看到,第 2 行代码中,我们申请了一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组,除此之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 ),像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以,对于空间复杂度,掌握刚我说的这些内容已经足够了。

内容小节

复杂度也叫渐进复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度,用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系,可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。等你学完整个专栏之后,你就会发现几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个。

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